Numerical Mathematics for CSE

Abstract

The course gives an introduction into fundamental techniques and algorithms ofnumerical mathematics which play a central role in numerical simulations inscience and technology. The course covers the theory as well as practical exampleswhich are done in MATLAB.

Objective

* Knowledge of the fundamental algorithms in numerical mathematics * Knowledge of the essential terms in numerical mathematics and the techniques used for the aqnalysis numerical algorithms * Ability to interpret numerical results * Ability to implement efficiently numerical algorithms

Content

1 Computerarithmetik und Konsequenzen 1.1 Beispiele 1.2 Zahldarstellung 1.3 Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler 1.4 Ueber- und Unterlauf 1.5 Kondition 1.6 Ausloeschung 1.7 Stabilitaet 2 Nichtlineare Gleichungen 2.1 Iterationsverfahren 2.2 Fixpunktiteration 2.3 Newton-Verfahren 2.3.1 Die Newton-Iteration 2.3.2 Konvergenzanalyse des Newton-Verfahrens 2.3.3 Gedaempftes Newton-Verfahren 2.4 Nullstellenbestimmung von Funktionen 2.4.1 Bisektionsverfahren 2.4.2 Einpunktverfahren 2.4.3 Mehrpunktverfahren 2.5 Effizienz 2.6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung 3 Numerische lineare Algebra 3.1 Grundbegriffe und -operationen 3.1.1 Operationen 3.1.2 Matrix-Speicherformate 3.2 Numerische L®osung linearer Gleichungssysteme 3.2.1 Theorie und Kondition 3.2.2 Die Gausselimination 3.2.3 Die LU-Zerlegung 3.2.4 Pivotsuche 3.2.5 Symmetrisch positiv definite Matrizen 3.2.6 Duennbesetzte Gleichungssysteme 3.2.7 Die QR-Zerlegung 3.2.8 Modifikationstechniken 3.2.8.1 Rang-1-Modifikationen 3.2.8.2 Hinzufuegen einer Spalte 3.2.8.3 Hinzufuegen einer Zeile 3.3 Numerische Berechnung von Eigenwertenund Eigenvektoren 3.3.1 Transformationsmethoden 3.3.2 Potenzmethoden 3.3.3 Vorkonditionierte inverse Iteration 3.3.4 Krylov-Unterraumverfahren 3.3.5 Singulaerwertzerlegungen 3.4 Numerik linearer Ausgleichsprobleme 3.4.1 Orthogonaltransformationsmethode 3.4.2 Normalengleichungen 3.4.3 Totales Ausgleichsproblem 3.4.4 Ausgleichsrechnung mit linearen Nebenbedingungen 3.5 Krylov-Verfahren fuer lineare Gleichungssysteme 3.5.1 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (CG) 3.5.1.1 Prinzip des CG-Verfahrens 3.5.1.2 Implementierung des CG-Verfahrens 3.5.1.3 Konvergenzgeschwindigkeit 3.5.2 Vorkonditionierung 3.5.3 Weitere Krylov-Unterraumverfahren 3.5.3.1 Residuenminimierende Verfahren 3.5.3.2 Verfahren mit kurzen Rekursionen 3.6 Spezielle Matrizen 3.6.1 Zirkulante Matrizen 3.6.1.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) 3.6.1.2 Symmetrische DFTs 3.6.1.3 Effiziente Algorithmen fuer zirkulante Matrizen 3.6.2 Toeplitz-Matrizen 3.6.2.1 Toeplitz-Matrix-Arithmetik 3.6.2.2 Der Levinson-Algorithmus 4 Interpolation und Approximation 4.1 Polynomiale Techniken 4.1.1 Polynominterpolation 4.1.1.1 Theorie und Kondition 4.1.1.2 Algorithmen 4.1.2 Interpolationsfehlerabschaetzungen 4.1.3 Tschebyscheff-Interpolation 4.1.4 Trigonometrische Interpolation 4.1.5 Approximation durch Polynome 4.1.5.1 Bestapproximation 4.1.5.2 Polynomiale Least-Squares Approximation 4.1.5.3 Tschebyscheff-Approximation 4.1.5.4 Clusteringapproximation 4.2 Stueckweise Polynome 4.2.1 Stueckweise Polynominterpolation 4.2.1.1 Stueckweise lineare Interpolation 4.2.1.2 Stueckweise polynomiale Interpolation von Funktionen 4.2.1.3 Kubische Hermite-Interpolation 4.2.2 Splines 4.2.2.1 Splineinterpolation 4.2.2.2 Formerhaltende Splineinterpolation 4.2.3 Bezier-Techniken 4.3 Numerische Quadratur 4.3.1 Polynomiale Quadraturformeln 4.3.2 Gauss-Quadratur 4.3.3 Zusammengesetzte Quadraturformeln 4.3.4 Adaptive Quadratur 4.4 Multiskalenbasen 5 Numerik gewoehnlicher Differentialgleichungen 5.1 Theorie gewoehnlicher Differentialgleichungen 5.2 Kondition von Anfangswertproblemen 5.3 Einschrittverfahren 5.3.1 Kollokationsverfahren 5.3.2 Runge-Kutta-Verfahren 5.4 Konvergenz 5.4.1 Schrittweitensteuerung fuer Einschrittverfahren 5.5 Stabilitaet 5.6 Differentiell-Algebraische Anfangswertprobleme 5.7 Strukturerhaltung 5.7.1 Nichtexpansivitaet 5.7.2 Quadratische erste Integrale 5.7.3 Symplektizitaet 5.7.4 Reversibilitaet 5.8 Splittingverfahren 5.9 Mehrschrittverfahren 5.10 Verfahren fuer oszillatorische Probleme 5.11 Anfangswertprobleme mit Verzoegerungsterm 6. Stochastische Differentialgleichungen

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