Sums of Squares

Abstract

The course explores the arithmetic of and connection between sums of two, respectively four, squares and the Gaussian integers, respectively the integral quaternions. Multiplication laws for sums of two and four squares arise and we answer the question for which other numbers such laws may exist. Finally, the arithmetic and multiplicative structure of binary quadratic forms are explored.

Objective

Studierende kennen den Euklidischen Algorithmus, sind fähig ihn anzuwenden, und verstehen die Wichtigkeit des Algorithmus in Bezug auf die Arithmetik der ganzen und Gauss'schen Zahlen, d.h. die Student*Innen sind vertraut mit der Teilertheorie, Primfaktorzerlegung, und Faktorringen der ganzen und Gauss'schen Zahlen. Ferner ist den Studenten bekannt, dass der Euklidische Algorithmus auch in einem nicht-kommutativen Rahmen, e.g. den Hurwitz Quaternionen, eine wichtige Rolle spielt und Aussagen über dessen Arithmetik getroffen werden können. Die Studierenden können die Arithmetik der Gauss'schen Zahlen und Hurwitz Quaternionen mit den zwei und vier Quadratsätzen in Verbindung bringen und wissen, dass die dabei ausgenutzte Multiplikativität von Summen von zwei bzw. vier Quadraten nur noch bei Summen von einem und acht Quadraten vorhanden ist. Die Student*Innen sind in der Lage zu bestimmen ob zwei binäre quadratische Formen zueinander SL_2(Z)-äquivalent sind und ob eine gegebene ganze Zahl durch eine binäre quadratische Form einer gegebenen Diskriminante repräsentierbar ist mittels dem Legendre Symbol und quadratischer Reziprozität. Studierende sind auch in der Lage den zwei Quadratesatz mittels binären quadratischen Formen zu beweisen.

Content

Der Kurs befasst sich mit den Sätzen von Fermat und Lagrange über Summen von zwei beziehungsweise vier Quadraten. Dazu wird die arithmetische Theorie der Gauss’schen Zahlen und der ganzen Quaternionen ausgearbeitet. Eine besondere Eigenschaft dabei ist, dass sich Produkte von Summen von 2 (bzw. 4) wieder als Summe von 2 (bzw. 4) Quadraten schreiben lässt. Dass dies eine besondere Eigenschaft ist besagt das Theorem von Hurwitz, welches besagt, dass dies ferner nur für Summen von einem und 8 Quadraten gilt. Ganz anders sieht es aus bei den binären quadratischen Formen, wo man beliebige Formen der gleichen Diskriminante multiplizieren kann. Ferner wird ein wenig in die Repräsentationstheorie jener Formen eingegangen und damit zusammenhängend auch das Legendre symbol und quadratische Reziprozität besprochen.

Resources